Problemi con le scale mobili?

Ho cominciato a leggere di recente il libro Motion Mountain, un libro di fisica gratuito e liberamente scaricabile, composto da 6 volumi, più di 1600 pagine, che tratta la materia in un modo decisamente alternativo (rispetto a come viene insegnata a scuola o all'università). Ogni nuovo concetto viene sempre sviscerato fino all'osso senza lasciare nulla all'ovvietà e la curiosità e la fantasia del lettore sono alimentate da tantissimi problemi concreti (non sempre risolti) e curiosi ragionamenti che, se compresi fino in fondo, sono sicuramente un buon punto di partenza per la piena padronanza dell'argomento. Un libro dove si impara soprattutto facendo e non solo leggendo.

Già nel primo volume, riguardante il moto (che dovrebbe essere il più semplice, teoricamente), la risoluzione dei problemi proposti è tutt'altro che banale.

Sono già molti i problemi di cui vorrei condividere le soluzioni che ho trovato e quello di cui vi scrivo ora riguarda una scala mobile. Il testo del problema recita così (vedi Sfida 63s pag. 63):

Un uomo vuole sapere quanti scalini dovrebbe salire se la scala mobile davanti a lui, che va verso l’alto, fosse ferma. Sale sulla scala e conta 60 scalini; camminando in discesa, per la stessa scala e con la stessa velocità, ne conta 90. Qual è la risposta?

Se vuoi pensarci su prima di leggere la soluzione aspetta a superare questa linea…

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Soluzione

Per prima cosa bisogna fare chiarezza su alcuni concetti:

• il modo più conveniente di esprimere la velocità su una scala mobile è in gradini al secondo;

• la legge oraria di una scala mobile sarà: numero gradini (N) = velocità x tempo;

• definito Vp = velocità della persona e Vs = velocità della scala, si distinguono due casi: se il verso della persona è lo stesso della scala allora N = Vp x t + Vs x t; se il verso della persona è opposto sarà N = Vp x t - Vs x t;

• se una persona passa dal livello inferiore a quello superiore di una scala mobile, o viceversa, la distanza in gradini che ha percorso è sempre pari al numero di gradini della scala stessa, quindi il fatto di contarne di più o di meno non vuol dire aver percorso una distanza maggiore o minore.

detto ciò abbiamo tutti gli strumenti per risolvere questo problema (e qualsiasi altro problema di scale mobili).

Impostiamo la prima equazione:

Impostiamo la seconda equazione:

E risolviamo il sistema:

Otteniamo:

E sostituendo:

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Note: per scrivere le formule in questa pagina ho utilizzato l'Editor per equazioni in LaTex di CodeCogs; il codice LaTex l'ho poi trasformato in codice svg tramite questo convertitore online che usa MathJax. E il codice svg l'ho inserito nella pagina tramite la funzione di Wix insert html code.

L'inserimento del codice html generato direttamente da CodeCogs risulta molto lento nell'elaborazione e su smartphone non viene riconosciuto mentre l'inserimento delle formule come immagini .gif è poco agevole perchè in dimensione 1:1 non si possono posizionare al centro della pagina.

Se qualcuno ha trovato una soluzione più semplice ed elegante e vuole farmelo sapere mi farebbe molto piacere!